LASSO-регрессия

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Статья написана с использованием LLM Gemini 3.1 Pro и проверена участником Renal Gazizullin 15:40, 23 июня 2026 (MSD)

LASSO-регрессия (аббр. от англ. Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) — метод оценки параметров линейной регрессии, при котором функционал качества дополняется штрафом, пропорциональным -норме вектора параметров. Метод предложен Робертом Тибширани в 1996 году^[1] и формально решает задачи регуляризации и автоматического отбора признаков.

Формальная постановка

Пусть задана обучающая выборка , где — матрица признаков, а — вектор ответов. Задача LASSO-регрессии сводится к минимизации эмпирического риска с -регуляризатором:

где — вектор весов, — гиперпараметр регуляризации, управляющий степенью разреженности решения.

Свойства метода

Отбор признаков

Ключевая особенность LASSO — способность приравнивать к нулю веса наименее релевантных признаков при достаточно больших значениях . Метод выполняет непрерывное сжатие весов, что делает его предпочтительным инструментом для интерпретации моделей в условиях высокой размерности пространства признаков ().

Геометрическая интерпретация

В отличие от гребневой регрессии (-регуляризация), где линии уровня штрафа образуют гиперсферу, -норма формирует гипероктаэдр (ромб в двумерном случае). Точка касания эллипсоида контуров среднеквадратичной ошибки (MSE) с границей гипероктаэдра с высокой вероятностью приходится на его вершины. Это геометрическое свойство гарантирует строго нулевые значения части компонент вектора ^[1].

Методы оптимизации

В силу недифференцируемости -нормы в точке 0, классический градиентный спуск неприменим для поиска точного решения.

Координатный спуск

Базовый алгоритм для практического применения (в частности, в библиотеке glmnet). Метод покоординатного спуска итеративно обновляет каждую компоненту веса при фиксированных остальных, используя оператор мягкого порога (soft-thresholding):

Алгоритм LARS

LARS (Least Angle Regression) — метод гомотопии, позволяющий точно построить кусочно-линейный путь решений LASSO для всего спектра значений . Вычислительная сложность алгоритма эквивалентна одному расчету метода наименьших квадратов.

Проксимальные градиентные методы

Для минимизации суммы дифференцируемой и недифференцируемой функций применяется алгоритм ISTA (Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm) и его ускоренный вариант FISTA. Обновление весов задается через проксимальный оператор:

Проксимальный оператор -нормы аналитически сводится к покомпонентному применению мягкого порога.

Стохастическая оптимизация с редукцией дисперсии

В задачах с большим объемом выборки () обычный SGD имеет сублинейную скорость сходимости из-за асимптотической неисчезающей дисперсии стохастического градиента. Современные проксимальные стохастические методы решают эту проблему, достигая линейной сходимости для сильно выпуклых задач^[1]:

• Prox-SVRG (Stochastic Variance Reduced Gradient): Периодически вычисляет полный градиент для центрирования стохастических оценок, строго контролируя дисперсию на внутренних итерациях.
• SAGA: Адаптация алгоритма SAG без необходимости вычисления полного градиента на внешнем цикле, математически совместимая с проксимальным шагом для -штрафа.
• SARAH (StochAstic Recursive grAdient algoritHm): Применяет рекурсивные оценки для формирования смещенного, но обладающего существенно меньшей дисперсией направления поиска.

Байесовская интерпретация

С позиций байесовской статистики, оценка параметров LASSO эквивалентна оценке максимума апостериорной вероятности (MAP) при допущении, что шум модели имеет нормальное распределение, а априорное распределение весов является независимым распределением Лапласа:

где параметр масштаба обратно пропорционален . Характерный пик в нулю распределения Лапласа формализует априорное ожидание разреженности вектора параметров^[1].

Связанные методы

• Elastic Net: Выпуклая линейная комбинация и регуляризаторов. Компенсирует нестабильность LASSO при наличии групп сильно коррелирующих между собой признаков, отбирая их совместно.
• Adaptive LASSO: Метод, вводящий индивидуальные веса штрафа для каждой компоненты вектора (штраф пропорционален цене обычного МНК). Обеспечивает свойство оракула: асимптотическую несмещенность и консистентность отбора признаков.
• Групповое LASSO (Group LASSO): Использует блочную норму (смешанную -норму) для одновременного зануления заранее заданных логических групп признаков.

Литература